Renditeverteilungen: die Stellschraube, die alles entscheidet
Eine Monte-Carlo-Simulation zieht Tausende Szenarien zufällig. Die Ziehung folgt einem statistischen Gesetz (der «Verteilung»), das Sie selbst wählen. Und diese Wahl entscheidet alles: Dasselbe Portfolio kann unter einer Normalverteilung 95 % Erfolg zeigen und unter Student-t nur 78 %. Bevor Sie auf Ihre Erfolgsquote schauen, prüfen Sie die Verteilung, die sie hervorgebracht hat.
Die Normalverteilung (Gauß)
Die bekannteste Verteilung: die berühmte Glockenkurve. Renditen streuen sich symmetrisch um den Mittelwert. Die meisten Jahre liefern eine «normale» Rendite, und Extreme (Crashs oder Booms) gelten als sehr selten.
Konkretes Beispiel
Bei einem Mittelwert von 8 % und einer Volatilität von 15 % sagt dieses Modell vorher, dass 68 % der Jahre zwischen -7 % und +23 % liegen und 95 % zwischen -22 % und +38 %. Ein Crash von -50 %? Statistisch nahezu unmöglich. Trotzdem ist genau das 2008 und im März 2020 passiert. Falsch ist das Modell, nicht der Markt.
Die Log-Normalverteilung: die Untergrenze der Realität
Die Log-Normalverteilung behebt den Hauptmangel der Normalverteilung: Eine Rendite kann nicht unter -100 % fallen. Sie können nicht mehr verlieren, als Sie besitzen. Sie ist außerdem asymmetrisch: Verluste sind begrenzt, Gewinne nicht.
Warum sie der Branchenstandard ist
Ein Vermögenswert bei 100 €, der 50 % verliert, ist 50 € wert. Um wieder auf 100 € zu kommen, braucht er +100 %, nicht +50 %. Diese multiplikative Asymmetrie bestimmt die Märkte: Die Log-Normalverteilung berücksichtigt sie, die Normalverteilung nicht. Genau deshalb beruhen die professionellen Finanzmodelle (Black-Scholes, VaR, Markowitz) auf ihr.
⚠️ «Fat Tails»: der blinde Fleck der Log-Normalverteilung
Selbst die Log-Normalverteilung übersieht die wirklich extremen Schocks. Der Crash 2008 (-38 %), der Schwarze Montag 1987 (-22 % an einem einzigen Handelstag) und der Covid-Sturz im März 2020 (-34 % in einem Monat) gelten unter der Normalverteilung als «unmöglich» und unter der Log-Normalverteilung als «äußerst selten». Die Student-t-Verteilung fügt dickere Enden hinzu, um diese Schwarzen Schwäne abzubilden.
Das Wesentliche
- 1Die Log-Normalverteilung ist realistischer als die Normalverteilung, denn keine Rendite unter -100 % ist möglich.
- 2Fat Tails (Student-t) bilden die -40 %-Crashs und +50 %-Rallys ab, die der Normalverteilung entgehen.
- 3Brutale Asymmetrie: -50 % verlangt +100 %, nur um wieder bei null zu sein.
- 4Für den finalen FIRE-Stresstest auf Student-t umschalten, bevor Sie entscheiden.
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Häufig gestellte Fragen
Es ist die statistische Form, die die Renditen eines Vermögenswerts über einen langen Zeitraum annehmen. Drei verbreitete Familien: Normalverteilung (Gauß), symmetrisch mit dünnen Enden; Log-Normalverteilung, die jede Rendite unter -100 % ausschließt und näher an der Realität liegt; Student-t-Verteilung, deren dicke Enden («Fat Tails») extreme Crashs und Rallys modellieren.
Eine Rendite kann nicht unter -100 % fallen (man kann nicht mehr verlieren, als man besitzt). Die Normalverteilung lässt diese Unmöglichkeit dennoch zu. Die Log-Normalverteilung setzt eine natürliche Untergrenze und lässt Gewinne unbegrenzt, was der Börsenrealität näher kommt. Sie ist der akademische Standard in der Finanzwissenschaft.
Fat Tails bezeichnen die Extremereignisse (Crashs -40 %, Rallys +50 %), die häufiger auftreten, als die Normalverteilung vorhersagt. Die Student-t-Verteilung bildet diese Realität besser ab (Schwarzer Montag 1987, 2008, März 2020). Wer Fat Tails ignoriert, unterschätzt systematisch das echte Risiko eines FIRE-Plans.
Für die erste Iteration Log-Normal: ~7 % Mittelwert, ~15 % Volatilität, der Standard für ein 100 %-Aktien-Portfolio. Für den finalen Stresstest vor dem FIRE-Start Student-t mit 4 bis 6 Freiheitsgraden, das die Fat Tails erfasst. Das Ergebnis wird pessimistischer ausfallen, und genau darum geht es bei einem Stresstest.