Distribuição de rendimentos: a alavanca que decide tudo
Uma simulação Monte Carlo sorteia milhares de cenários. O sorteio segue uma lei estatística (a «distribuição») que escolhe por si próprio. E essa escolha decide tudo: a mesma carteira pode mostrar 95 % de sucesso com distribuição normal e 78 % com Student-t. Antes de olhar para a sua taxa de sucesso, verifique a distribuição que a produziu.
A distribuição normal (gaussiana)
A mais conhecida: a famosa curva em sino. Os retornos distribuem-se simetricamente em torno da média. A maioria dos anos rende um retorno «normal», e os extremos (crashes ou booms) são tidos como muito raros.
Exemplo concreto
Com uma média de 8 % e uma volatilidade de 15 %, este modelo prevê que 68 % dos anos rendam entre -7 % e +23 %, e 95 % entre -22 % e +38 %. Um crash de -50 %? Estatisticamente quase impossível. Aconteceu, no entanto, em 2008 e em março de 2020. É o modelo que está errado, não os mercados.
A distribuição log-normal: o piso da realidade
A log-normal corrige a principal falha da normal: um retorno não pode descer abaixo de -100 %. Ninguém pode perder mais do que possui. É também assimétrica: as perdas são limitadas, os ganhos não.
Porque é o padrão da indústria
Um ativo a 100 € que perde 50 % vale 50 €. Para voltar aos 100 € precisa de +100 %, não de +50 %. Esta assimetria multiplicativa governa os mercados: a log-normal contabiliza-a, a normal não. É por isso que os modelos financeiros profissionais (Black-Scholes, VaR, Markowitz) assentam nela.
⚠️ As «caudas gordas»: o ponto cego da log-normal
Mesmo a log-normal falha os choques verdadeiramente extremos. O crash de 2008 (-38 %), a Segunda-feira Negra de 1987 (-22 % numa única sessão) e a queda Covid de março de 2020 (-34 % num mês) são eventos que a normal classifica como «impossíveis» e a log-normal como «raríssimos». A distribuição Student-t adiciona caudas mais gordas para reproduzir estes cisnes negros.
O Essencial a reter
- 1A log-normal é mais realista do que a normal, porque nenhum rendimento abaixo de -100 % é possível.
- 2As fat tails (Student-t) reproduzem as quedas -40 % e os rallies +50 % que a normal ignora.
- 3Assimetria cruel: -50 % exige +100 % só para voltar ao equilíbrio.
- 4Para o stress-test FIRE final, mude para Student-t antes de decidir.
Para ir mais longe
Perguntas frequentes
É a forma estatística que os rendimentos de um ativo assumem durante um longo período. Três famílias comuns: Normal (gaussiana), simétrica com caudas finas; Log-normal, que proíbe qualquer rendimento abaixo de -100 % e se ajusta melhor à realidade; Student-t, cujas caudas grossas («fat tails») modelam as quedas e rallies extremos.
Um rendimento não pode descer abaixo de -100 % (ninguém pode perder mais do que possui). A normal autoriza, no entanto, esta impossibilidade. A log-normal impõe um limite inferior natural e deixa os ganhos ilimitados, o que se ajusta à realidade bolsista. É o padrão académico em finanças.
As fat tails designam os eventos extremos (queda -40 %, rally +50 %) que ocorrem com mais frequência do que a distribuição normal prevê. A distribuição Student-t reproduz melhor esta realidade (Segunda-feira Negra 1987, 2008, março de 2020). Ignorar as fat tails subestima sistematicamente o risco real de um plano FIRE.
Para a primeira iteração, log-normal: ~7 % médio, ~15 % de volatilidade, valor por defeito numa carteira 100 % ações. Para o stress-test final antes da reforma, Student-t com 4 a 6 graus de liberdade, que captura as fat tails. O resultado será mais pessimista, e é precisamente esse o objetivo de um stress-test.