Distribuzione dei rendimenti: la leva che decide tutto
Una simulazione Monte Carlo estrae a sorte migliaia di scenari. L'estrazione segue una legge statistica (la «distribuzione») che sceglie Lei. E questa scelta decide tutto: lo stesso portafoglio può mostrare il 95 % di successo con la distribuzione normale e il 78 % con la Student-t. Prima di guardare il Suo tasso di successo, controlli la distribuzione che lo ha prodotto.
La distribuzione normale (gaussiana)
La più conosciuta: la famosa curva a campana. I rendimenti si distribuiscono simmetricamente intorno alla media. La maggior parte degli anni dà un rendimento «normale», e gli estremi (crash o boom) sono considerati molto rari.
Esempio concreto
Con una media dell'8 % e una volatilità del 15 %, questo modello prevede che il 68 % degli anni renda tra -7 % e +23 %, e il 95 % tra -22 % e +38 %. Un crash del -50 %? Statisticamente quasi impossibile. Eppure è successo nel 2008 e nel marzo 2020. È il modello a sbagliare, non i mercati.
La distribuzione log-normale: il pavimento di realtà
La log-normale corregge il difetto principale della normale: un rendimento non può scendere sotto -100 %. Lei non può perdere più di quanto possiede. È anche asimmetrica: le perdite sono limitate, i guadagni no.
Perché è lo standard del settore
Un asset a 100 € che perde il 50 % vale 50 €. Per tornare a 100 € gli serve +100 %, non +50 %. Questa asimmetria moltiplicativa governa i mercati: la log-normale ne tiene conto, la normale no. Per questo i modelli finanziari professionali (Black-Scholes, VaR, Markowitz) si fondano su di essa.
⚠️ Le «code grasse»: il punto cieco della log-normale
Persino la log-normale manca gli shock davvero estremi. Il crash del 2008 (-38 %), il Lunedì Nero del 1987 (-22 % in una sola seduta) e il crollo Covid del marzo 2020 (-34 % in un mese) sono eventi che la normale considera «impossibili» e la log-normale «rarissimi». La distribuzione Student-t aggiunge code più spesse per riprodurre questi cigni neri.
L'Essenziale da ricordare
- 1La log-normale è più realistica della normale, perché nessun rendimento sotto -100 % è possibile.
- 2Le fat tails (Student-t) riproducono i crolli -40 % e i rally +50 % che la normale ignora.
- 3Asimmetria spietata: -50 % esige +100 % per tornare in pari.
- 4Per lo stress-test FIRE finale, passi alla Student-t prima di decidere.
Per andare oltre
Domande frequenti
È la forma statistica che assumono i rendimenti di un asset su un lungo periodo. Tre famiglie comuni: Normale (gaussiana), simmetrica con code sottili; Log-normale, che vieta qualsiasi rendimento sotto -100 % e si attiene meglio alla realtà; Student-t, le cui code spesse («fat tails») modellano i crolli e i rally estremi.
Un rendimento non può scendere sotto -100 % (non si può perdere più di tutto). La normale autorizza tuttavia questa impossibilità. La log-normale impone un limite inferiore naturale e lascia i guadagni illimitati, il che si attiene alla realtà borsistica. È lo standard accademico in finanza.
Le fat tails designano gli eventi estremi (crollo -40 %, rally +50 %) che si verificano più spesso di quanto la distribuzione normale preveda. La distribuzione Student-t riproduce meglio questa realtà (Lunedì Nero 1987, 2008, marzo 2020). Ignorare le fat tails sottostima sistematicamente il rischio reale di un piano FIRE.
Per la prima iterazione, log-normale: ~7 % medio, ~15 % di volatilità, valore predefinito su un 100 % azioni. Per lo stress-test finale prima della pensione, Student-t con 4-6 gradi di libertà, che cattura le fat tails. Il risultato sarà più pessimista, ed è esattamente lo scopo di uno stress-test.