La distribution des rendements : le réglage qui décide tout
Une simulation Monte Carlo tire au sort des milliers de scénarios. Le tirage suit une loi statistique (la « distribution ») que vous choisissez vous-même. Et ce choix décide tout : un même portefeuille peut afficher 95 % de succès en distribution normale et 78 % en Student-t. Avant de regarder votre taux de succès, vérifiez la distribution qui l'a produit.
La distribution normale (gaussienne)
La plus connue : la fameuse courbe en cloche. Les rendements se répartissent symétriquement autour de la moyenne. La plupart des années donnent un rendement « normal », et les extrêmes (krachs ou booms) sont supposés très rares.
Exemple concret
Avec une moyenne de 8 % et une volatilité de 15 %, ce modèle prédit que 68 % des années rendent entre -7 % et +23 %, et 95 % entre -22 % et +38 %. Un krach de -50 % ? Statistiquement quasi impossible. C'est pourtant arrivé en 2008 et en mars 2020. Le modèle a tort, pas les marchés.
La distribution log-normale : la borne de réalité
La log-normale corrige la principale faille de la normale : un rendement ne peut pas descendre sous -100 %. Vous ne pouvez pas perdre plus que ce que vous possédez. Elle est aussi asymétrique : les pertes sont bornées, les gains ne le sont pas.
Pourquoi c'est le standard de l'industrie
Un actif à 100 € qui perd 50 % vaut 50 €. Pour revenir à 100 €, il lui faut +100 %, pas +50 %. Cette asymétrie multiplicative gouverne les marchés : la log-normale en tient compte, la normale non. C'est pour cette raison que les modèles financiers professionnels (Black-Scholes, VaR, Markowitz) reposent sur elle.
⚠️ Les « queues épaisses » : l'angle mort de la log-normale
Même la log-normale rate les chocs vraiment extrêmes. Le krach de 2008 (-38 %), le Black Monday 1987 (-22 % en une seule séance) et la chute Covid de mars 2020 (-34 % en un mois) sont des événements que la loi normale juge « impossibles » et que la log-normale juge « rarissimes ». La distribution de Student-t ajoute des queues plus épaisses pour reproduire ces cygnes noirs.
L'Essentiel à retenir
- 1La log-normale est plus réaliste que la normale, car aucun rendement < -100 % n'est possible.
- 2Les fat tails (Student-t) reproduisent les krachs -40 % et les rallies +50 % que la normale ignore.
- 3Asymétrie cruelle : -50 % exige +100 % pour revenir à l'équilibre.
- 4Pour un stress-test FIRE final, basculez en Student-t avant de décider.
Pour aller plus loin
Questions fréquentes
C'est la forme statistique des rendements d'un actif sur une longue période. Trois familles courantes : Normale (gaussienne), symétrique avec des queues fines ; Log-normale, qui interdit tout rendement < -100 % et colle mieux à la réalité ; Student-t, dont les queues épaisses (« fat tails ») modélisent les krachs et les rallies extrêmes.
Un rendement ne peut pas descendre sous -100 % (vous ne pouvez pas perdre plus que tout). La normale autorise pourtant cette impossibilité. La log-normale impose une borne inférieure naturelle et laisse les gains illimités, ce qui colle à la réalité boursière. C'est le standard académique en finance.
Les fat tails désignent les événements extrêmes (krach -40 %, rallye +50 %) qui surviennent plus souvent que la distribution normale ne le prédit. La distribution Student-t reproduit mieux cette réalité (Lundi noir 1987, 2008, mars 2020). Ignorer les fat tails sous-estime systématiquement le risque réel d'un plan FIRE.
Pour la première itération, log-normale : ~7 % moyen, ~15 % de volatilité, valeur par défaut sur un 100 % actions. Pour le stress-test final avant un départ FIRE, Student-t avec 4 à 6 degrés de liberté, qui capture les fat tails. Le résultat sera plus pessimiste, et c'est précisément l'objectif d'un stress-test.